تیزهوشان آزمونهمه مقالاتحل سوالات مکعب رنگ شده تیزهوشان؛ از گوشه تا مرکز بشمار
برای حل سوالات مکعب رنگ شده تیزهوشان، پیش از فرمول‌نویسی مشخص کن کدام سطح‌های جسم رنگ شده‌اند و برش‌ها در هر بُعد چند قسمت ساخته‌اند. سپس مکعب‌های کوچک را بر اساس جایگاهشان در گوشه، روی یال، روی سطح یا درون جسم دسته‌بندی کن؛ تعداد وجه‌های رنگی هر قطعه از همین جایگاه معلوم می‌شود.
اول صورت سؤال را به دو تصویر جدا تبدیل کن
تصویر اول، جسم بزرگ پیش از برش است: کدام وجه‌ها رنگ شده‌اند؟ تصویر دوم، همان جسم پس از برش است: در طول، عرض و ارتفاع چند مکعب کوچک داریم؟ رنگ فقط روی سطح بیرونیِ رنگ‌شده می‌ماند و سطح‌هایی که با برش تازه پدید می‌آیند رنگ ندارند. اگر سؤال فقط بعضی وجه‌ها را رنگ کرده باشد، قانون مکعبی که هر شش وجهش رنگ شده مستقیم قابل استفاده نیست.
حل سوالات مکعب رنگ شده تیزهوشان با چهار جایگاه
وقتی هر شش وجه یک مکعب بزرگ رنگ شده باشد، هر قطعه کوچک یکی از چهار جایگاه را دارد: گوشه، یال، سطح یا مرکز. قطعه گوشه‌ای با سه سطح بیرونی تماس دارد و سه وجهش رنگی است. قطعه روی یال و دور از گوشه دو وجه رنگی دارد. قطعه میانیِ یک سطح فقط یک وجه رنگی دارد و قطعه کاملاً داخلی هیچ وجه رنگی ندارد.
مثال پاسخ‌دار: مکعب ۳×۳×۳ را لایه‌به‌لایه ببین
یک مکعب را از هر بُعد به سه قسمت مساوی ببُر؛ در مجموع ۲۷ مکعب کوچک ساخته می‌شود. ۸ مکعب گوشه‌ای سه وجه رنگی دارند. روی هر یک از ۱۲ یال فقط یک قطعه میان دو گوشه مانده است، پس ۱۲ مکعب دو وجه رنگی‌اند. در مرکز هر یک از ۶ سطح یک مکعب با یک وجه رنگی داریم و تنها مکعب وسط بدون رنگ است. کنترل نهایی: ۸+۱۲+۶+۱=۲۷.
چرا تعداد گوشه‌ها همیشه پاسخ کامل نیست؟
عدد ۸ فقط تعداد قطعه‌های گوشه‌ای یک مکعب کامل را می‌گوید. اگر پرسش درباره دو وجه رنگی باشد باید قطعه‌های میانی یال‌ها را بشماری، و اگر جسم گوشه‌ای کم‌شده یا چند وجهش رنگ نشده باشد حتی رفتار گوشه‌ها نیز عوض می‌شود. به‌جای شروع با عددهای حفظی، یک قطعه نمونه را انتخاب کن و بشمار چند سطح رنگ‌شده جسم بزرگ به آن می‌رسند.
از طول یال، دو سرِ گوشه‌ای را کم کن
اگر هر یال به n قطعه تقسیم شود، روی بخش میانی هر یال n−۲ قطعه باقی می‌ماند؛ زیرا دو سر یال در گروه گوشه‌ها حساب شده‌اند. مکعب ۴×۴×۴ روی هر یال دو قطعه میانی دارد. چون مکعب ۱۲ یال دارد، ۲۴ قطعه با دو وجه رنگی ساخته می‌شود. این شمارش فقط وقتی درست است که هر شش وجه بیرونی پیش از برش رنگ شده باشند.
برای قطعه‌های یک‌وجهی، وسط هر سطح را جدا کن
در مکعب n×n×n، پس از کنارگذاشتن ردیف‌های کناری، وسط هر سطح یک مربع با ضلع n−۲ می‌ماند. برای مکعب ۴×۴×۴، وسط هر سطح ۲×۲ یعنی ۴ قطعه دارد؛ شش سطح در مجموع ۲۴ مکعب با دقیقاً یک وجه رنگی می‌سازند. قطعه‌های روی یال را دوباره در این گروه نشمار، چون آن‌ها دو وجه رنگی دارند.
مرکز بی‌رنگ و کنترل مجموع در مکعب ۴×۴×۴
بخش داخلی مکعب ۴×۴×۴ یک مکعب ۲×۲×۲ است؛ پس ۸ قطعه هیچ وجه رنگی ندارند. چهار گروه این مثال چنین‌اند: ۸ قطعه سه‌وجهی، ۲۴ قطعه دووجهی، ۲۴ قطعه یک‌وجهی و ۸ قطعه بی‌رنگ. جمع آن‌ها ۶۴ است و با ۴×۴×۴ برابر می‌شود. اگر جمع گروه‌ها با تعداد کل برابر نبود، یک گروه جا افتاده یا دوبار شمرده شده است.
تمرین: وقتی فقط بالا و پایین رنگ شده‌اند
یک مکعب ۳×۳×۳ داریم که فقط وجه بالا و پایین آن پیش از برش رنگ شده است. چند مکعب کوچک یک وجه رنگی دارند؟ لایه بالا ۹ و لایه پایین ۹ قطعه دارد؛ این دو سطح روبه‌رو به یک قطعه مشترک نمی‌رسند، پس ۱۸ مکعب دقیقاً یک وجه رنگی دارند. ۹ قطعه لایه میانی بی‌رنگ‌اند و هیچ قطعه‌ای دو یا سه وجه رنگی ندارد. این تمرین نشان می‌دهد شرط رنگ‌آمیزی از هر فرمول مهم‌تر است.
مهارت‌های مکمل و مرز موضوع
اگر تشخیص سطح و یال در ذهن دشوار است، ابتدا تمرین‌های تجسم فضایی با مکعب را انجام بده. برای پرسش‌هایی که مکعب را از روی یک الگوی باز می‌سازند، راهنمای گسترده مکعب و وجه‌های روبه‌رو مناسب‌تر است؛ آن موضوع با شمارش سطح‌های رنگی فرق دارد. هنگام ثبت گروه‌ها نیز روش مدیریت چرک‌نویس از دوباره‌شماری جلوگیری می‌کند.
چک‌لیست نهایی و جمع‌بندی
پیش از انتخاب پاسخ بررسی کن: ۱) همه وجه‌ها رنگ شده‌اند یا فقط بعضی از آن‌ها؟ ۲) برش در هر بُعد چند قسمت ساخته است؟ ۳) سؤال دقیقاً قطعه چندوجه‌رنگی می‌خواهد؟ ۴) گوشه، یال، سطح و مرکز را جدا شمرده‌ام؟ ۵) جمع گروه‌ها با تعداد کل قطعه‌ها برابر است؟ جمع‌بندی: شرط رنگ را بخوان، جای قطعه را پیدا کن، تعداد وجه‌های بیرونی آن را بشمار و در پایان مجموع را کنترل کن. قالب و ضوابط هر دوره ممکن است تغییر کند؛ اطلاعات رسمی آزمون را فقط از اطلاعیه همان سال بگیرید.